https://culturacientifica.com/2018/06/27/buscando-lagunas-de-numeros-no-primos/

En la mítica novela Contacto (1985), del astrónomo y divulgador científico estadounidense Carl Sagan (1934-1996), que sería posteriormente llevada al cine en 1997 por el director Robert Zemeckis, famoso por películas como Regreso al futuro(1985) o Forrest Gump (1994), los extraterrestres envían un mensaje, en forma de impulsos de radio, que consiste en una lista de números primos.

“… lo que estamos recibiendo semeja una larga secuencia de números primos, números enteros solo divisibles por sí mismos y por uno. Como ningún proceso astrofísico genera números primos, me atrevería a suponer que, de acuerdo con todos los criterios que conocemos, esto tiene visos de ser auténtico. […]

– El hecho de que yo sea asesor presidencial sobre temas científicos no significa nada –dijo él–, puesto que mi campo es la biología. Por eso le pido que me explique todo muy despacio. Entiendo que, si la fuente emisora se halla a veintiséis años luz, el mensaje debió de haber sido enviado hace veintiséis años. Digamos que, en la década de los sesenta, unos hombrecitos de aspecto extraño y orejas puntiagudas quisieron hacernos saber cuán aficionados eran a los números primos. Sin embargo, los números primos no son difíciles, o sea que ellos no estarían haciendo alarde de nada. Esto más bien se parece a un curso de recuperación de matemáticas. Quizá deberíamos sentirnos ofendidos.

–No –repuso ella con una sonrisa–. Piénselo de este modo. Todo esto no es más que una señal para atraer nuestra atención. Habitualmente recibimos impulsos insólitos provenientes de cuásares, púlsares y galaxias. Sin embargo, los números primos son muy específicos, muy artificiales. Por ejemplo, ningún número par es también primo. Nos cuesta creer que alguna galaxia en explosión o plasma radiante pueda emitir un conjunto de señales matemáticas como estas. Los números primos tienen como objeto despertar nuestra curiosidad.

–Pero ¿para qué? –preguntó él, desconcertado.

–No lo sé, pero en estas cuestiones es preciso armarse de paciencia. A lo mejor, dentro de un tiempo dejan de enviarnos números primos y los reemplazan por otra cosa, algo más significativo, el mensje verdadero. No nos queda más remedio que seguir escuchando.

Esa era la parte más difícil de explicar al periodismo: que las señales no tenían ningún sentido. Eran solo los primeros centenares de números primos, en orden, para comenzar otra vez desde el principio. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

El 9 no era número primo, sostenía Ellie, porque era divisible por 3 (además de por 9 y 1, desde luego). El 10 tampoco lo era, porque era divisible por 5 y por 2 (además de por 10 y 1). El 11 sí era número primo, ya que solo era divisible por 1 y por sí mismo. Sin embargo, ¿por qué optaban por transmitir dichos números? Pensó en un idiot savant, una de esas personas deficientes en destrezas comunes, verbales o sociales, pero también capaces de realizar complicadísimas operaciones matemáticas tales como calcular al momento en qué día de la semana va a caer el 1 de junio del año 6977. No lo hacen para nada, sino solo porque les gusta, porque son capaces de hacerlo…”

Escena de película “Contact”, dirigida por Robert Zemeckis en 1994, en la que aparecen los protagonistas Judie Foster, en el papel de la cientifica Ellie Arroway, y Matthew McConaughey, como el filósofo cristiano Palmer Joss

Los números primos son muy importantes desde el punto de vista matemático, y juegan un papel fundamental en todas las áreas de las matemáticas, en particular, en la aritmética y la teoría de números. Esto seguramente se deba a que los números primos son los ladrillos con los que se contruye todo el edificio de los números naturales, como nos dice el teorema fundamental de la aritmética, es decir, todo número natural se puede expresar como producto de números primos, de forma única. Además, los números primos tienen importantes aplicaciones para nuestra sociedad, siendo la más conocida el sistema de codificación RSA, dentro de la criptografía, que se basa precisamente en la factorización de los números naturales como producto de números primos.

Pero no es ni la importancia de los números primos, fuera y dentro de las matemáticas, ni las aplicaciones de los mismos, el objetivo de esta entrada del Cuaderno de Cultura Científica, sino el problema de la distribución de los números primos dentro de los números naturales, o más bien, la distribución de los no primos.

Aunque empecemos por el principio. Los números primos son aquellos números naturales que solamente se pueden dividir por 1 y por ellos mismos. Así, por ejemplo, el número 25 no es primo ya que se puede dividir por 5 (además de por 1 y 25), o tampoco el 27 (divisible por 3 y 9), mientras que el número 19 sí es primo, ya que solamente es divisible por el 1 y él mismo, al igual que lo son los números 2, 3, 5, 7, 11 y 13, entre otros. A los números que no son primos, se les llama números compuestos. El número 1 no se considera primo, ya que en ese caso la factorización de los números naturales (teorema fundamental de la aritmética) no sería única, siempre se puede multiplicar por 1, pero tampoco se considera compuesto.

Humor gráfico del humorista chileno Alberto Montt sobre número primos. Viñeta aparecida el 29/04/10 en Dosis Diarias.

Si empezamos por los primeros números primos… el primero es el 2. Y es obvio que todos los múltiplos de 2 no van a ser números primos, puesto que son divisibles por 2, es decir, podemos quitar a todos los números pares de la lista de candidatos a números primos. Siguiendo el orden natural dentro de los números, nos encontramos con el siguiente número primo, el 3, y podemos quitar todos los múltiplos de 3 de la lista de candidatos a números primos. El siguiente número que no hemos eliminado y, por lo tanto, es primo, es el 5, luego podemos tachar a todos los múltiplos de 5 de la lista de números primos, y así continuamos con los múltiplos de 7, 11, 13, 17, 19, etc… Este es el conocido como método de la criba Eratóstenes (matemático griego del siglo III a.c.) para obtener los números primos, mediante la eliminación de los múltiplos de los primos que se van obteniendo.

En la siguiente imagen, hemos incluido la criba de Eratóstenes, pero solo con números impares (ya hemos eliminado los múltiplos de 2, los pares), para números más pequeños que 361 = 19². Hemos dibujado las líneas de los múltiplos de 3, 5, 7, 11, 13 y 17, con las cuales ya hemos eliminado todos los números compuestos menores que 361. Los números que quedan son todos los números primos menores que 361.

Criba de Eratóstenes de números impares menores que 361

La Criba de Eratóstenes nos permite ir obteniendo los números primos desde el 2 en adelante, pero es un método lento para obtener números primos, aunque con paciencia y muchos, muchos cálculos pueden obtenerse tablas de primos. La primera tabla amplia de números primos fue obtenida en 1606 por el matemático italiano Pietro Cataldi (1548 – 1626), que mostraba los números primos menores que 800. Así, se fueron obteniendo tablas cada vez más largas. Los primos menores que 1.020.000 fueron obtenidos en 1811 por el matemático húngaro Ladislaus Chernac (1742-1816) y hasta 100.330.200 se llegó hacia 1863, por el matemático nacido en la ciudad del imperio austriaco Lenberg (ahora ciudad ucraniana de Lviv) Jakob Philipp Kulik (1793-1863). Kulik estuvo 20 años preparando su tabla, que ocupó 8 volúmenes manuscritos con un total de 4.212 páginas. Al morir Kulik, que había dedicado su vida a la obtención de tablas matemáticas, se dijo de él: “ha dejado de calcular y de vivir”. Este tipo de tablas de números primos incluía también las descomposiciones en factores primos de los números compuestos. Todo esto antes de la era de los ordenadores.

Página de la primera tabla que publicó J. P. Kulik en 1824, con la descomposición en factores, distintos de 2, 3 y 5, de los números hasta el número 21.500. Por ejemplo, arriba a la izquierda, podemos observar que el número 17177 se descompone como 89 x 193 y el siguiente 17179, como 41 x 419

Sin embargo, el método descrito por Eratóstenes no nos permite saber si un cierto número alto, por ejemplo, 28.295.303, es primo o no, salvo que se tenga ya la tabla que alcance a ese número. Para saberlo tendríamos que ver si se puede dividir por todos los números primos menores que él, lo cual es complicado como ya menciona el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en su obra Disquisitiones Arithmeticae (1801). Por cierto, el número 28.295.303 es compuesto y se puede dividir por 269, 293 y 359.

“El problema de distinguir los números primos de los compuestos y de descomponer estos últimos en sus factores primos se sabe que es uno de los más importantes y útiles de la aritmética. Ha ocupado el trabajo y la sabiduría de los geómetras antiguos y modernos hasta tal extremo que sería superfluo tratar el problema en toda su extensión… Es más, la propia dignidad de la ciencia parece requerir que se explore todo medio posible para la solución de un problema tan elegante y tan famoso.”
[Disquisitiones Arithmeticae, 1801, Carl F. Gauss]

Con el método de la Criba de Eratóstenes podemos ir obteniendo primos “lentamente” y con muchos cálculos. Son los números que quedan al ir eliminando los múltiplos de los primos que vamos obteniendo. Así, se puede ir consiguiendo cada vez más números primos, por lo que la primera cuestión evidente que nos podemos plantear es si llegará algún momento en que nos quedemos sin números primos, es decir, ¿hay una cantidad finita o infinita de números primos?

Los griegos ya conocían la respuesta a esta pregunta. A pesar de lo que afirma uno de los personajes de la novela La conjetura de Perelman (Ediciones B, 2011), del escritor murciano Juan Soto Ivars, la matemática Ludmila, madre en la novela de Grigory Perelman, “Se han hecho listas de números primos con ese método de comprobación, pero no se sabe si más allá siguen existiendo. No sabemos si son infinitos porque no sabemos cómo se generan”, existe una cantidad infinita de números primos.

La demostración aparece recogida en la gran obra Los Elementos del matemático griego Euclides (aprox. 325-265 a.c.). En concreto, la Proposición 20, del Libro IX, de Los Elementos, dice así “Los números primos son más que cualquier cantidad propuesta de números primos”.

Caricatura del matemático griego Euclides, perteneciente a la exposición El rostro humano de las matemáticas, de la Real Sociedad Matemática Española, y realizada por Gerardo Basabe de Viñaspre

El argumento de Euclides es el siguiente. Si existiese una cantidad finita de números primos, p₁, p₂, …, p_n, se puede construir un número más grande que los números p₁, p₂, …, p_n-1 y p_n, pero que no es divisible por ninguno de ellos, a saber, el número p₁x p₂x … x p_n + 1, en consecuencia, o es primo o es divisible por un primo que no es ninguno de los anteriores. Por lo tanto, existen infinitos números primos.

Por ejemplo, si consideramos los cinco primeros primos números primos 2, 3, 5, 7 y 11, podemos construir el número

2 x 3 x 5 x 7 x 11 + 1 = 2.311,

que no se puede dividir por ninguno de los números primos 2, 3, 5, 7 o 11. De hecho, 2.311 es otro número primo. O si tomamos los seis primeros números primos

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30.031,

se obtiene un número que no se puede dividir por ninguno de esos seis números primos, pero como no es primo, se tiene que poder factorizar mediante números primos mayores que 13, como así es, 30.031 = 59 x 509, ambos dos nuevos primos.

Volvamos a la idea de la Criba de Eratóstenes. Cuantos más números primos se van obteniendo, mayor cantidad de números compuestos se pueden generar como multiplicación de los mismos y sus potencias, que son los que vamos descartando en este método de obtención de los números primos. Por lo tanto, aunque sabemos que existen infinitos números primos, da la impresión de que cada vez hay menos, ya que generamos muchísimos números compuestos, ¿será esto cierto o se irá manteniendo más o menos constante la cantidad de primos que van apareciendo dentro de los números naturales?

Miremos los listados de números primos. Si miramos la Criba de Eratóstenes anterior, observaremos que entre los 100 primeros números hay 25 primos, es decir, 1 de cada 4 números es primo. Sin embargo, si miramos entre los 1.000 primeros números, resulta que hay 168 que son primos, 1 de cada 6 números. Un porcentaje menor. Y así, como podemos ver en la siguiente tabla, según vamos ampliando la cantidad de números considerados, existe un menor porcentaje de números primos. Luego según vamos avanzando en la recta de números naturales, los números primos van siendo cada vez más infrecuentes, y los números compuestos van ocupando más el espacio dentro de los números naturales.

Tabla con la cantidad de números primos y frecuencia de los mismos para cantidades de números que son potencias de 10

El problema de la distribución de los números primos dentro de la recta de los números naturales es un problema importante de la teoría de números, relacionado con uno de los siete problemas del milenio “la hipótesis de Riemann”, del que ya hablaremos en el Cuaderno de Cultura Científica en otra ocasión. En esta entrada queremos hacer una pequeña reflexión sobre el problema dual, la distribución de los números compuestos.

Si volvemos a mirar la imagen de la Criba de Eratóstenes anterior observamos que al principio hay muchos números primos y la distancia entre ellos no es muy grande. Los primos 2 y 3 están pegados. Entre los primos 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, o 17 y 19, solamente hay un número par (de hecho, los números primos que están tan cerca, que solo les separa un número par, se llaman números primos gemelos). Entre los primos 7 y 11, 13 y 17, o 19 y 23, hay un hueco de tres números compuestos. Poco más adelante encontramos un hueco de cinco números no primos, entre el 23 y el 29, y un hueco de siete lo encontramos entre los números 89 y 97. El hueco más grande de números compuestos entre los menores de 361, que son los que aparecen en esa tabla, lo encontramos entre los números 113 y 127, que es una laguna sin números primos de 13 números compuestos. Al igual que entre los números 317 y 331.

Como hemos comentado anteriormente, cada vez hay menos números primos y más números compuestos, por lo que nos podemos plantear si existen lagunas de números compuestos tan grandes como queramos, que tengan, al menos, 100, 1.000, 1.000.000 o cualquier otra cantidad de números compuestos.

Si miramos en la literatura matemática descubriremos que el primer hueco con más de 100 números compuestos se produce a partir del número primo 370.261. De hecho, hay 111 números compuestos entre ese primo y el siguiente. Esta laguna fue encontrada por el matemático inglés James Whitbread Lee Glaisher (1848-1928) en 1877.

La primera laguna de más de 1.000 números compuestos nos la encontramos a partir del número primo 1.693.182.318.746.371. Entre este número primo y el siguiente existen 1.131 números compuestos consecutivos. Esta laguna fue obtenida por el matemático sueco Bertil Nyman en 1999.

Pero, ¿existen lagunas de números compuestos, entre dos números primos, tan grandes como queramos? La respuesta es afirmativa.

A continuación, vamos a mostrar una sencilla técnica para obtener este tipo de lagunas, para la cual necesitamos utilizar el factorial de un número. Recordemos que el factorial de un número n, que se denota n!, se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n,

n! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 1) x n.

Aquí podéis ver un pequeño video, de la sección Una de mates del programa Órbita Laika (año 2015) de La 2, con una explicación sobre el significado del factorial de un número.

Ahora, vamos a construir lagunas de números compuestos, entre números primos, de tamaños tan grandes como deseemos. Pero vayamos poco a poco. Imaginemos que queremos encontrar dos números primos entre los cuales haya, por lo menos, 4 números compuestos consecutivos. Entonces consideramos los números

5! + 2 = 122, 5! + 3 = 123, 5! + 4 = 124, 5! + 5 = 125,

que resulta que no son números primos, ya que, por ejemplo, 5! + 2, es divisible por 2, puesto que 5! + 2 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 + 2 = 2 x (1 x 3 x 4 x 5 + 1), sacando el 2 como factor común. De igual forma, 5! + 3 es divisible entre 3, 5! + 4 entre 4 y 5! + 5 entre 5, luego no son primos. En consecuencia, entre el primo anterior a 122 y el siguiente a 125 se genera una laguna con, al menos, 4 números primos. Aunque, de hecho, es la laguna que hemos comentado anteriormente, entre 113 y 127, que tiene 13 números compuestos consecutivos entre ambos.

Si se desea construir una laguna de, al menos, 7 números no primos consecutivos, utilizando esta técnica, se considera el factorial de 8, que da lugar a los siguientes 7 números compuestos no consecutivos:

8! + 2, 8! + 3, 8! + 4, 8! + 5, 8! + 6, 8! + 7 y 8! + 8.

Si tenemos en cuenta que 8! = 40.320, entonces los números compuestos anteriores son 40.322, 40.323, 40.324, 40.325, 40.326, 40.327 y 40.328.

En general, si buscamos una laguna con al menos n números compuestos consecutivos, debemos de considerar el factorial de (n + 1), con el que podemos generar los n números compuestos siguientes

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, …, (n + 1)! + (n + 1).

Esta técnica es válida para cualquier número n. Luego el punto fuerte de este resultado es que nos asegura la existencia de lagunas de números compuestos tan grandes como queramos, aunque como ponen de manifiesto los ejemplos anteriores, esas lagunas pueden no ser óptimas en los siguientes sentidos.

La laguna de números no primos consecutivos puede ser más grande que el n del que partimos, como en el primer ejemplo, para el cual n = 4, luego aseguramos una laguna de, al menos, 4 elementos, pero realmente la laguna llega a tener 13 elementos. La otra cuestión es que para generar una laguna de, al menos, 8 números compuestos nos vamos al número 40.322 y los siguientes, aunque realmente una laguna con al menos 8 números no primos la encontramos ya entre los primeros números naturales, ya que como hemos comentado antes, entre los números primos 113 y 127, hay 13 números que no son primos. La cosa es más grave aún para números mayores, por ejemplo, 1000 (que tampoco es que sea excesivamente grande), ya que 1001! es un número enorme, con 2.571 dígitos, en contraste con la laguna de, al menos, 1000 números compuestos consecutivos vista anteriormente.

Chiste sobre números primos del artista gráfico Sydney Harris, que se ha dedicado al humor gráfico relacionado con la ciencia desde 1955

Bibliografía

1.- Clifford A. Pickover, La maravilla de los números, Ma Non Troppo, 2002.

2.- John Conway, Richard K. Guy, The book of numbers, Springer-Verlag, 1996.

3.- Enrique Gracián, Los números primos, un largo camino al infinito, El mundo es matemático, RBA, 2010.

4.- Wikipedia: Prime Number Theorem

5.- Eric W. Weisstein, Prime Gaps, fromMathWorld-A Wolfram Web Resource.

6.- Thomas R. Nicely, First occurrence prime gaps

7.- Página web del humorist gráfico Sydney Harris

http://www.elmundo.es/baleares/2018/06/18/5b27652de2704e4d138b4594.html

CERCA DE 300.000 estudiantes en toda España se han presentado a la selectividad este mes de junio, y la semana pasada los alumnos y sus familias han conocido los resultados. A estos exámenes ahora los llaman PAU – Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios- pero traen cualquier cosa menos paz. Tensión, nervios, pánico escénico a esas macro aulas desconocidas… no recuerdo yo en mis tiempos de bachiller tanta agonía ni tanta histeria colectiva. Encaré la pregunta sobre Nietzsche en el examen de Filosofía con la frialdad de Borg en la pista central de Wimbledon, pero también puede ser que me falle la memoria, y fuera McEnroe blandiendo un bolígrafo en la cara del profesor. El caso es que ahora se han multiplicado las opciones para elegir estudios superiores, y algunas notas de corte para acceder a los grados más demandados en las mejores facultades de España has subido a cotas himaláyicas. Vamos con otro artículo fascista, jacobino, a las órdenes de ese imperialismo rancio que se nos quiere imponer desde la España mesetaria.

Por increíble que parezca dada la aceptación generalizada de una parte del discurso nacionalista en cada región de España -Madrid nos maltrata a todos- en España aún sobrevive el distrito único universitario. Quiero decir que a pesar del incremento de la presión centrifugadora en materia de competencias que hemos visto en los últimos años, en nuestro modelo de estado altamente descentralizado las notas de un alumno de Cádiz le sirven para optar a una plaza universitaria en Girona. A pesar de ello cada comunidad autónoma, a través de sus universidades públicas, prepara sus propias pruebas. Coinciden los días de los exámenes, y las materias a evaluar. El resto, cada una a su bola. Preguntan lo que estiman conveniente y corrigen según su parecer en el uso de su autonomía académica. A mi me tienen que explicar, porque no lo puedo entender, cómo se puede comparar con un mínimo de objetividad el nivel de conocimientos en matemáticas de dos alumnos que hacen dos exámenes completamente distintos. Cómo discriminar a la hora de acceder a una facultad según la puntuación en Física, o en Biología, a dos estudiantes que realizan pruebas de diferente dificultad.

Notará el lector que solo me he referido a materias de la rama de ciencias. Hablar de la asignatura de Historia de España sería abrir la caja de los truenos por la larga dejación de funciones del Ministerio de Educación a la hora de controlar los diseños curriculares de las comunidades autónomas. En determinadas escuelas se emplean libros de texto que recogen la historia de nuestro país con el mismo rigor científico que emplea Pocahontas narrando la colonización de América. Pero no se lo vamos a poner tan sencillo a la caverna nacionalista. Sigamos con la química y el dibujo técnico.

Todo esto es una gran broma a la que nadie se atreve a meter mano para que no le llamen centralista, o sea, fascista. Cada año miles de graduados en Medicina se examinan del MIR para optar a las plazas de médico residente que se ofertan en toda España según las especialidades. Es un mecanismo que funciona, copiado en otros países, y reconocido como uno de los pilares formativos que sostiene uno de los mejores sistemas de sanidad pública del mundo. Aunque nos cueste reconocerlo -a unos más que a otros- hacemos algunas cosas bien. ¿Ustedes se imaginan si de pronto cada autonomía, o mejor aún, cada hospital público de referencia, decidiera hacer sus propias pruebas, corregirlas y poner las notas a los alumnos de su propia comunidad? ¿Y que con estas notas esos estudiantes recién licenciados pudiera acceder, o no, a los hospitales más prestigiosos y con mejores especialistas del país? No se lo imaginan porque sería absurdo, y además reventaría de golpe la esencia del mecanismo: objetividad de la prueba -que es tipo test- y competencia limpia entre los examinandos.

Pues bien, en resumen este es el sindios en el que estamos instalados hace tiempo con la Selectividad, ahora la PAU, que en realidad es la guerra contra un sistema justo de asignación de plazas para los bachilleres. Alguna falla importante debe tener ese examen cuando las mejores universidades privadas de España -me refiero a las de prestigio, no a las de pinta y colorea que expiden títulos a golpe de transferencia bancaria- pasan olímpicamente de él, y realizan sus propias pruebas de acceso para detectar talento y actitudes. Quizá la PAU no sea injusta para ese cinco por ciento de alumnos extraordinarios con tan altas capacidades que, se pongan como se pongan los examinadores, alcanzarán la nota de corte que necesiten para estudiar lo que quieran. Tampoco afecta demasiado a ese porcentaje de alumnos mediocres, o directamente malos, que ya racanean en sus institutos y accederán a trompicones a estudios sin numerus clausus. Pero sí afecta decisivamente a la gran clase media, y media-alta, de alumnos motivados y con talento que se pueden ver fuera de los estudios que quieren cursar por apenas unas décimas de la nota, habiendo contestado exámenes objetivamente más difíciles que alumnos de otras comunidades. Esos tres días de PAU se juegan a una sola carta el cuarenta por ciento de su expediente final.

Lo comenta todo el mundo por todas partes, pero parece que nadie se atreve a escribirlo. En la UIB pegan ostias como panes en la Selectividad, y por ello la gran mayoría de alumnos no solo no logra mantener sus calificaciones de bachillerato, sino que bajan notablemente sus medias. Esto puede deberse a dos motivos: o la enseñanza media en Baleares es una bazofia y vomita un elevadísimo número de zoquetes de sus institutos, o a nuestros prestigiosos docentes universitarios se les va un poco la mano. Y también es un clamor la razón que se apunta para esto último: dado que nuestra condición insular es una barrera económica para que vengan estudiantes peninsulares, hay que dificultar la salida de nuestros mejores estudiantes a otras universidades que no sean la UIB. A menos estudiantes, menos dotación económica y menos recursos en general. Yo no sé si esto es cierto, pero conocidas la endogamia y la opacidad que habitan en los campus universitarios, no se puede descartar ninguna posibilidad. En cualquier caso, la única manera de resolver esta duda es la que dicta el sentido común: una sola prueba de acceso, en las mismas fechas, para un único distrito universitario español. Aún quedaría por resolver el asunto de los criterios de corrección en los exámenes que no son técnicos o tipo test, pero al menos eliminaríamos la mitad del problema. Eso nos traería la pau, y no la guerra.

https://www.xataka.com/basics/17-formulas-excel-esenciales-para-empezar-aprender-formulas-excel

Excel es, con permiso de Google Sheets, la aplicación hoja de cálculo por excelencia, valga la redundancia. Con Excel puedes hacer de todo, si sabes usar las fórmulas apropiadas. Hoy veremos 17+ fórmulas de Excel esenciales que te ayudarán a crear hojas de cálculo más inteligentes.

Las fórmulas de Excel son el corazón del programa, pues son las que se encargan de hacer el “cálculo” de la hoja de cálculo. Hoy revisaremos las fórmulas más útiles para el público general, con ejemplos de cómo usar cada una.

Operaciones matemáticas simples

Antes de entrar en fórmulas más complicadas, veamos cómo hacer las operaciones matemáticas más simples: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Técnicamente solo la suma es una fórmula, pues en el resto de los casos se usan operadores especiales.

• SUMA: esta fórmula suma los valores de las celdas en su interior. Soporta tanto celdas separadas como intervalos. Ejemplo: =SUMA(A1:A50)
• Restas: para restar los valores de dos celdas debes usar el símbolo de resta “-” entre ambas. Ejemplo: = A2 - A3
• Multiplicaciones: para multiplicar los valores de dos celdas debes intercalar entre ellas un asterisco *. Ejemplo: = A1 * A3 * A5 * A8
• Divisiones: para dividir los valores de dos celdas debes incluir entre ellas la raya /. Ejemplo: = A2 / C2

Excel respeta el orden lógico de las operaciones matemáticas (multiplicaciones y divisiones primero, luego sumas y restas) y suporta el uso de paréntesis para dar prioridad a unas operaciones sobre otras. De este modo, puedes crear fórmulas como = (A1 + C2) * C7 / 10 + (D2 - D1).

PROMEDIO

La fórmula promedio devuelve el valor de promedio aritmético de las celdas que pases o rango de celdas que pases como parámetro. Este resultado también es conocido como media o media aritmética.

• Uso: =PROMEDIO (celdas con números)
• Ejemplo: =PROMEDIO (A2:B2)

MAX y MIN

Si en lugar de querer saber la media aritmética deseas conocer cuál es el mayor valor o el menor valor de un conjunto, tienes a tu disposición dos fórmulas de nombres previsibles: MAX y MIN. Las puedes usar con celdas separadas o rangos de celdas.

• Uso: =MAX(celdas) / =MIN(celdas)
• Ejemplo: =MAX(A2:C8) / =MIN(A2,B4,C3,29)

SI.ERROR

SI.ERROR es una fórmula que te sacará de más de un apuro. Con ella puedes evitar los errores #¡DIV/0! y similares. Esta fórmula te permite devolver un valor en el caso de que otra operación resulte un error. Esto es bastante común con divisiones, pues cualquier división entre cero dará error, pudiendo provocar una reacción en cadena de errores. La operación en cuestión puede ser una operación o cualquier otra fórmula.

• Uso: =SI.ERROR( operación, valor si hay un error)
• Ejemplo: =SI.ERROR (MAX(A2:A3) / MIN(C3:F9),"Ha habido un error")

SI

SI es una de las fórmulas más potentes de EXCEL y es que con ella puedes devolver un resultado distinto según si se cumple la condición. De este modo, podrías usarlo para que una celda diga “APROBADO” si otra es un número superior a 5, o “SUSPENDIDO” si es inferior.

• Uso: =SI(condición, valor si se cumple la condicion, valor si no se cumple)
• Ejemplo: =SI(B2="Madrid","España","Otro país")

CONTARA

CONTARA es una de las fórmulas para contar valores. A diferencia del simple CONTAR, CONTARA cuenta también valores que no sean números. Lo único que ignora son las celdas vacías, de modo que te puede ser útil para saber cuántas entradas tiene una tabla, independientemente de si los datos son numéricos o no.

• Uso: =CONTARA(rango de celdas)
• Ejemplo: =CONTARA(A:A)

CONTAR.SI

La fórmula CONTAR.SI es una especie de mezcla de las dos anteriores. Contará el rango de celdas especificado siempre y cuando cumplan ciertos requisitos. Estos puede ser que tengan cierto valor o que cumplan ciertas condiciones.

• Uso: =CONTAR.SI(rango de celdas, criterio)
• Ejemplo: =CONTAR.SI(C2:C, "Pepe")

ALEATORIO.ENTRE

Esta fórmula genera un número aleatorio entre otros dos números dados, y por tanto resulta ideal cuando necesitas elegir algo al azar. El número generado cambia cada vez que se regenera la hoja (por ejemplo, cuando escribes un nuevo valor).

• Uso: =ALEATORIO.ENTRE( numero menor, numero mayor)
• Ejemplo: =ALEATORIO.ENTRE (1,10)

DIAS

Los cálculos de fechas son siempre un tema peliagudo si los debes hacer a mano, pero todo es mucho más fácil cuando una fórmula hace el trabajo duro por ti. DIAS te dice el número de días que hay de diferencia entre dos fechas.

• Uso: =DIAS( primera fecha, segunda fecha)
• Ejemplo: =DIAS ("2/2/2018", B2)

AHORA

Otro esencial de Excel es la fórmula AHORA. Esta genera la fecha para el momento actual y es un dato que se actualizará automáticamente cada vez que abres la hoja o sus valores se recalculan (porque cambias una celda, por ejemplo). Esta fórmula no requiere de ningún parámetro.

• Uso: =AHORA()
• Ejemplo: =AHORA()

DIASEM

DIASEM es otra útil fórmula relacionada con fechas, que devuelve de forma numérica el día de la semana de una fecha. El lunes es el 1, el martes es el 2, y así sucesivamente, aunque hay varias formas de empezar a contar, como puedes indicar en el segundo parámetro.

• Uso: =DIASEM (fecha, tipo de cuenta)

Para tipo de cuenta, debes usar uno de estos parámetros:

• 1: números del 1 (domingo) al 7 (sábado)
• 2: números del 1 (lunes) al 7 (domingo)
• 3: números del 0 (lunes) al 6 (domingo)
• 11: números del 1 (lunes) al 7 (domingo)
• 12: números del 1 (martes) al 7 (lunes)
• 13: números del 1 (miércoles) al 7 (martes)
• 14: números del 1 (jueves) al 7 (miércoles)
• 15: números del 1 (viernes) al 7 (jueves)
• 16: números del 1 (sábado) al 7 (viernes)
• 17: números del 1 (domingo) al 7 (sábado)
• Ejemplo: =DIASEM (AHORA(), 2)

HIPERVINCULO

Excel convierte automáticamente las direcciones web en enlaces, pero si quieres crear un enlace con un texto distinto, necesitas usar una formula. Esa fórmula es HIPERVINCULO, con la cual puedes añadir enlaces a cualquier celda.

• Uso: =HIPERVINCULO ( dirección del enlace, texto del enlace )
• Ejemplo: =HIPERVINCULO ( "http://www.google.com", "Visita Google")

TRANSPONER

TRANSPONER cambia las filas por columnas y es una fórmula un poco especial. Debes aplicarla a una selección de filas que coincida de forma inversa con la tabla que quieres trasponer. Por ejemplo, si la tabla original tiene 2 filas y 4 columnas, necesitas aplicarla a 4 filas y 2 columnas. Además, es una fórmula de matriz, así que necesitas pulsar Control + Mayúsculas + Intro para aplicarla.

• Uso: {=TRANSPONER { intervalo de celdas )}
• Ejemplo: {=TRANSPONER ( A1:C20)}

REEMPLAZAR

REEMPLAZAR es una útil fórmula con la cual puedes insertar o reemplazar parte de un texto. No consiste en reemplazar un texto por otro (esa es la fórmula SUSTITUIR), sino en insertar un texto en determinada posición y, opcionalmente, sustituyendo parte del texto original. Con sus dos parámetros eliges en qué posición se inserta el texto, así como a cuántos caracteres se eliminarán del texto original, después de esa posición

• Uso: =REEMPLAZAR ( texto original, ubicación donde se inserta, caracteres del texto original que se borran, texto a insertar )
• Ejemplo: =REEMPLAZAR ( "Feliz Navidad", 6, 8, " Hanukkah")

CONCATENAR

CONCATENAR es una fórmula que te puede sacar de varios apuros. Su utilidad es tan simple como juntar varios elementos de texto en un único texto. Como parámetro no puedes especificar un rango de celdas, sino celdas individuales separadas por comas.

• Uso: =CONCATENAR( celda1, celda2, celda3 ... )
• Ejemplo: =CONCATENAR ( A1, A2, A5, B9)

ESPACIOS

Los espacios de más en un texto pueden ser problemáticos pues no siempre los podrás detectar a simple vista. Una forma de acabar con ellos fácilmente es con ESPACIOS, que elimina todos los espacios de más de un texto, independientemente de dónde se encuentren.

• Uso: =ESPACIOS ( celda o texto con espacios de más )
• Ejemplo: =ESPACIOS ( F3 )

ENCONTRAR

ENCONTRAR es una fórmula con la cual puedes saber si el texto de una celda contiene otro texto. En caso afirmativo, la fórmula devuelve la posición en el texto donde se encontró la primera concurrencia. Si no, devuelve un error (acúerdate de usar SI.ERROR para controlar estos casos).

• Uso: =ENCONTRAR(texto que estás buscando, texto original)
• Ejemplo: =ENCONTRAR ( "aguja", "pajar" )

En Xataka Basics | Cómo crear una lista desplegable en Excel

Estaría bien  que para el examen de esta semana intentarais hacer los ejercicios de Análisis que han salido en Selectividad:

http://www.ceice.gva.es/documents/161863209/165887226/Criterios+Matem%C3%A1ticas+II+junio+2018/e25c02e4-4297-4c9c-b75a-47f9dc7d48d7

No se desprende de lo anterior que los alumnos de ahora sean más incapaces, no. Tampoco que tengan menos ganas de trabajar (aunque en muchas ocasiones la desmotivación es patente). La mayoría de los alumnos llegan con gran ilusión a la Secundaria Obligatoria. Pero es difícil que en un grupo de 4º de ESO se pueda trabajar a un nivel académico importante, incluso con los contenidos actuales. Y esto es porque una parte importante de alumnado que llega hasta aquí (muchos habiendo repetido una o más veces durante la Secundaria Obligatoria), no se siente partícipe del grupo, no está cómodo: en el fondo quiere irse a otro sitio, quiere especializarse de otra manera. A pesar de la ilusión que le podamos poner muchos profesores, a pesar de modelar las unidades utilizando técnicas de motivación, juegos y las nuevas tecnologías, de tal manera que los alumnos vean la utilidad y el poder de, en este caso, las matemáticas. Un sector del alumnado se niega a inmiscuirse en muchas de las materias, no las sienten como algo suyo, y menos con 15 o 16 años. Perdida ya la cercanía a las matemáticas (o a cualquier otra materia), vagan por las aulas con la mirada perdida, decaídos o, justamente al contrario, eufóricos por su ilusoria indiferencia, hablando y molestando en las clases de manera continua, sin ningún pudor. Pero no tienen la culpa. Este sector del alumnado no está cómodo, no se siente feliz en clase y, naturalmente, provoca disensiones de importancia alumno-profesor y alumno-alumno. Disensiones que, de no paliarlas a tiempo, tienen consecuencias devastadoras no ya en el día a día en las clases, sino en un adecuado cumplimiento del currículo.

https://elpais.com/especiales/2018/mundial-de-futbol/pronosticos/

Estas son las opciones que tiene cada selección de ganar el mundial. Las predicciones se actualizan después de cada partido con 10.000 simulaciones de nuestro modelo estadístico. En la metodología puedes leer cómo funciona.

Probabilidad que tiene cada selección de alcanzar cada fase y ganar el trofeo

SELECCION	GRUPO	RANKING	OCTAVOS	CUARTOS	SEMIFINAL	FINAL	GANAR
Brasil	E	2.030	90,3%	63,6%	45,5%	29,3%	17,9%
Alemania	F	2.012	89,1%	60,2%	41,9%	25,5%	15,6%
España	B	2.007	84,1%	65,9%	42,6%	25,6%	15,3%
Argentina	D	1.995	85,6%	58,8%	34,8%	19,9%	11,3%
Portugal	B	1.946	75,0%	53,4%	30,9%	16,0%	7,9%
Francia	C	1.942	79,5%	46,1%	25,5%	12,9%	6,2%
Inglaterra	G	1.909	80,8%	50,8%	23,6%	12,1%	5,3%
Bélgica	G	1.897	79,3%	49,1%	23,1%	11,2%	4,7%
Colombia	H	1.881	74,6%	40,8%	17,4%	7,6%	3,3%
Suiza	E	1.848	57,8%	25,4%	12,6%	5,2%	1,7%
Croacia	D	1.843	55,3%	26,4%	11,6%	4,6%	1,6%
Uruguay	A	1.829	74,0%	28,2%	11,8%	4,4%	1,5%
Perú	C	1.820	50,5%	21,5%	8,9%	3,4%	1,2%
Rusia	A	1.671	67,4%	23,1%	8,9%	3,0%	< 1%
México	F	1.811	50,3%	18,3%	8,0%	3,0%	< 1%
Polonia	H	1.800	55,0%	23,2%	8,0%	2,9%	< 1%
Dinamarca	C	1.801	48,0%	19,3%	7,4%	2,7%	< 1%
Islandia	D	1.790	41,6%	17,2%	6,5%	2,2%	< 1%
Suecia	F	1.757	34,9%	10,4%	3,9%	1,4%	< 1%
Irán	B	1.751	24,3%	11,2%	4,0%	1,3%	< 1%
Senegal	H	1.745	40,6%	14,9%	4,3%	1,3%	< 1%
Serbia	E	1.738	27,9%	8,6%	2,9%	< 1%	< 1%
Egipto	A	1.685	38,9%	8,6%	2,0%	< 1%	< 1%
Costa Rica	E	1.715	23,9%	6,8%	2,3%	< 1%	< 1%
Corea del Sur	F	1.712	25,8%	6,8%	2,2%	< 1%	< 1%
Marruecos	B	1.704	16,6%	7,0%	2,1%	< 1%	< 1%
Japón	H	1.698	29,9%	9,4%	2,2%	< 1%	< 1%
Nigeria	D	1.678	17,5%	5,1%	1,3%	< 1%	< 1%
Australia	C	1.688	21,9%	5,6%	1,3%	< 1%	< 1%
Panamá	G	1.659	21,1%	6,2%	1,2%	< 1%	< 1%
Túnez	G	1.646	18,8%	5,6%	< 1%	< 1%	< 1%
Arabia Saudí	A	1.592	19,7%	2,7%	< 1%	< 1%	< 1%

¿Quieres saber cómo hacemos estas predicciones?
Utilizamos un modelo estadístico alimentado con datos de los equipos y sus jugadores. De cada selección consideramos sus resultados y las ocasiones del gol que produce y concede. De los jugadores usamos su valor de mercado y el nivel de su club. En total utilizamos estadísticas de 32.000 partidos y cientos de equipos. Aquí puedes leer la metodología completa.

El modelo estadístico lo han desarrollado Kiko Llaneras y Borja Andrino.
El diseño web es de Ignacio Povedano y el desarrollo de Ángel Carmona.
Concepto por Kiko Llaneras y David Álvarez.